Prof. Simon
Prof. Dr. Miles Simon
Institut für Analysis und Numerik (IAN)
Abgeschlossene Projekte
'Solutions to Ricci flow whose Scalar curvature is bounded in L^p (II)
Laufzeit: 01.01.2020 bis 31.12.2023
Ziele: The aim of this project is to further investigate the types of finite time singularities that occur for the Ricci flow in four dimensions in the real case, and higher dimensions in the Kaehler case, when the scalar curvature is bounded in the L^p norm
Lösungen des Ricci-Flusses mit Skalarkrümmung beschränt in L^p
Laufzeit: 01.01.2017 bis 31.12.2021
Das Ziel dieses Projektes ist es, Singularitäten des Ricci-Flusses in vier Dimensionen zu verstehen, wenndie Topologie bzw. die Geometrie eingeschränkt ist. Für vier-dimensionale Lösungen mit beschränkter Skalarkrümmung wurde folgendes in Arbeiten von R. Bamler, Q. Zhang und (unabhängig davon) dem Antragsteller gezeigt: Falls die Lösung in endlicher Zeit singulär wird, dann sind die Singularitäten vom Orbifold-Typ. Weiterhin wurde in einer Arbeit des Antragstellers gezeigt, dass die Lösung mit dem Orbifold Ricci-Flussfortgesetzt werden kann. In diesem Projekt möchten wir die Situation untersuchen, dass die Skalarkrümmung inLp gleichmässig in der Zeit, oder durch (T-t)-dafür ein kleines a>0 zu jeder Zeit t
Lösungen des Ricci-Flusses mit Skalarkrümmung beschränkt in L^p
Laufzeit: 01.10.2017 bis 31.12.2019
Das Ziel dieses Projektes ist es, Singularitäten des Ricci-Flusses in vier Dimensionen zu verstehen, wenn die Topologie bzw. die Geometrie eingeschränkt ist. Für vier-dimensionale Lösungen mit beschränkter Skalarkrümmung wurde folgendes in Arbeiten von R. Bamler, Q. Zhang und (unabhängig davon) dem Antragsteller gezeigt: Falls die Lösung in endlicher Zeit singulär wird, dann sind die Singularitäten vom Orbifold-Typ. Weiterhin wurde in einer Arbeit des Antragstellers gezeigt, dass die Lösung mit dem Orbifold Ricci-Fluss fortgesetzt werden kann. In diesem Projekt möchten wir die Situation untersuchen, dass die Skalarkrümmung in Lp gleichmässig in der Zeit, oder durch (T-t)-a für ein kleines a>0 zu jeder Zeit t
Ricci fluss von singulären metrischen Räumen
Laufzeit: 01.04.2009 bis 31.03.2012
Der Ricci-Fluss ist eine parabolische Gleichung 2. Ordnung auf einer Mannigfaltigkeit. In dem Fall, dass die Mannigfaltigkeit einfach zusammenhängend ist und Dimension drei hat, wurde dieser Fluss von R.Hamilton, G.Perelman und anderen dazu benutzt, die Richtigkeit der Poincaré-Vermutung zu beweisen.
Mithilfe des Ricci-Flusses hofft man, noch viele andere offene geometrische Fragen beantworten zu können.
Dieses Projekt hat folgende Ziele:
1. Einen Ricci-Fluss für nicht glatte Anfangsdaten zu definieren.
2. Abschätzungen herzuleiten, die nur von einfachen geometrischen Größen anbhängig sind. Zu diesen geometrischen. Größen gehören: Volumen, Durchmesser, untere Krümmungsschränken, Distanz.
3. Besseres Verständnis für Räume mit unteren Krümmungsschränken zu bekommen
4. Besseres Verständnis für die Singularitäten des Ricci-Flusses zu bekommen
Gegenstand des Teilprojekts von Herrn Arthur Schlichting sind Punkte 1 und 3, wobei die bisherigen Ergebnisse auch neue Informationen zu 2 und 4 liefern.
In Teil I der Arbeit beschäftigt sich Herr Schlichting mit dem Glätten geklebter Mannigfaltigkeiten. Genauer: Wir betrachten zwei Riemannsche Mannigfaltigkeiten mit Rand, wobei
a) die Riemannschen Mannigfaltigkeiten isometrisch am Rand sind,
b) die Summe der zweiten Fundamentalformen am Rand nichtnegativ ist
c) die Eigenwerte des Krümmungsoperators nach unten durch K beschränkt sind.
Durch Identifikation der Ränder ('Kleben') erhält man eine Riemannsche Mannigfaltigkeit mit stetiger Metrik (vgl. A.Petrunin, N.N. Kosovskii). Herr Schlichting hat gezeigt, dass auf der geklebten Mannifaltigkeit glatte Metriken konstruiert werden können, so dass die Eigenwerte des Krümmungsoperators nach unten durch K-s beschränkt sind, wobei s beliebig klein ist. Die geglätteten Mannigfaltigkeiten konvergeiren dann in der C0-Norm gegen die ursprungliche geklebete Mannigfaltigkeit.
In Teil II der Arbeit geht es speziell um den Fall K=0. In diesem Fall hat er gezeigt, dass ein Riccifluss der geklebten Mannigfaltigkeit existsiert, der die Mannigfaltigkeit glättet, so dass die Krümmungsschranke K= 0 erhalten wird.
2022
Nicht begutachteter Zeitschriftenartikel
Initial stability estimates for Ricci flow and three dimensional Ricci-pinched manifolds
Deruelle, Alix; Schulze, Felix; Simon, Miles
In: De.arxiv.org - [S.l.]: Arxiv.org . - 2022, insges. 40 S.
2021
Nicht begutachteter Zeitschriftenartikel
Ricci flow of W 2,2-metrics in four dimensions
Lamm, Tobias; Simon, Miles
In: De.arxiv.org - [S.l.]: Arxiv.org . - 2021, insges. 65 S.
2020
Begutachteter Zeitschriftenartikel
Some integral curvature estimates for the Ricci flow in four dimensions
Simon, Miles
In: Communications in analysis and geometry - Somerville, Mass.: Internat. Press, Bd. 28.2020, 3, S. 707-727
Extending four-dimensional Ricci flows with bounded scalar curvature
Simon, Miles
In: Communications in analysis and geometry - Somerville, Mass.: Internat. Press, Bd. 28 (2020), 7, S. 1683-1754
2019
Nicht begutachteter Zeitschriftenartikel
On the regularity of Ricci flows coming out of metric spaces
Deruelle, Alix; Schulze, Felix; Simon, Miles
In: Magdeburg: Universität, Fakultät für Mathematik, 2019, 37 Seiten - (Preprint; Fakultät für Mathematik, Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg; 2019,Nr.3)
2017
Begutachteter Zeitschriftenartikel
Optimal curvature estimates for homogeneous Ricci flows
Böhm, Christoph; Lafuente, Ramiro; Simon, Miles
In: International mathematics research notices : IMRN - Oxford : Oxford University Press, 2017
Ricci flow of regions with curvature bounded below in dimension three
Simon, Miles
In: The journal of geometric analysis - New York, NY : Springer, insges. 20 S., 2017
Dissertation
Convergence of Riemannian manifolds with critical curvature bounds
Zergänge, Norman; Simon, Miles
In: Magdeburg, Dissertation Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg, Fakultät für Mathematik 2017, i, 98 Seiten, Illustrationen, 30 cm [Literaturverzeichnis: Seite 95-98]
2016
Nicht begutachteter Zeitschriftenartikel
Local control on the geometry of 3d Ricci flow
Simon, Miles; Topping, Peter M.
In: Magdeburg: Universität, Fakultät für Mathematik, 2016, 39 Seiten - (Preprint; Fakultät für Mathematik, Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg; 2016,Nr.9)
2015
Nicht begutachteter Zeitschriftenartikel
Some integral curvature estimates for the Ricci flow in four dimensions
Simon, Miles
In: Magdeburg: Univ., Fak. für Mathematik, 2015, 15 S. - (Preprint; Fakultät für Mathematik, Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg; 2015,21)
Extending four dimensional Ricci flows with bounded scalar curvature
Simon, Miles
In: Magdeburg: Univ., Fak. für Mathematik, 2015, 70 S. - (Preprint; Fakultät für Mathematik, Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg; 2015,22)
2014
Nicht begutachteter Zeitschriftenartikel
Some local estimates and a uniqueness result for the entire biharmonic heat equation
Wheeler, Glen; Simon, Miles
In: Magdeburg, Univ., Fak. für Mathematik, 2014, 29 S. - (Preprint; Fakultät für Mathematik, Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg; 2014,9)
Ricci flow of regions with curvature bounded below in dimension three
Simon, Miles
In: Magdeburg: Univ., Fak. für Mathematik, 2014, 15 S. - (Preprint; Fakultät für Mathematik, Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg; 2014,8)
2013
Begutachteter Zeitschriftenartikel
Expanding solitons with non-negative curvature operator coming out of cones
Schulze, Felix; Simon, Miles
In: Mathematische Zeitschrift. - Berlin : Springer, Bd. 275.2013, 1/2, S. 625-639
Local smoothing results for the Ricci flow in dimensions two and three
Simon, Miles
In: Geometry & topology. - Berkeley, Calif : Mathematical Sciences Publishers, Bd. 17.2013, S. 2263-2287
2011
Begutachteter Zeitschriftenartikel
Stability of hyperbolic space under Ricci flow
Schnürer, O. C.; Schulze, F.; Simon, Miles
In: Communications in analysis and geometry. - Somerville, Mass. : Intern. Press, Bd. 19.2011, 5, S. 1023-1047
Stability of hyperbolic space under Ricci flow
Schnürer, O.C.; Schulze, F.; Simon, M.
In: Communications in Analysis and Geometry, Vol. 19, 2011, Issue 5, S. 1023-1047, ISSN 10198385
Originalartikel in begutachteter internationaler Zeitschrift
Ricci flow of non-collapsed three manifolds whose Ricci curvature is bounded from below
Simon, Miles
In: Journal für die reine und angewandte Mathematik. - Berlin : de Gruyter, 2011
2009
Begutachteter Zeitschriftenartikel
Ricci flow of almost non-negatively curved three manifolds
Simon, M.
In: Journal fur die Reine und Angewandte Mathematik, 2009, Issue 630, S. 177-217, ISSN 00754102, 10.1515/CRELLE.2009.038
2008
Begutachteter Zeitschriftenartikel
Stability of Euclidean space under Ricci flow
Schnürer, O.C.; Schulze, F.; Simon, M.
In: Communications in Analysis and Geometry, Vol. 16, 2008, Issue 1, S. 127-158, ISSN 10198385
Local results for flows whose speed or height is bounded by c/t
Simon, M.
In: International Mathematics Research Notices, Vol. 2008, 2008, Issue 1, ISSN 10737928, 10.1093/imrn/rnn097
2002
Begutachteter Zeitschriftenartikel
Deformation of C0 Riemannian metrics in the direction of their Ricci curvature
Simon, M.
In: Communications in Analysis and Geometry, Vol. 10, 2002, Issue 5, S. 1033-1074, ISSN 10198385
2000
Begutachteter Zeitschriftenartikel
A class of Riemannian manifolds that pinch when evolved by Ricci flow
Simon, M.
In: Manuscripta Mathematica, Vol. 101, 2000, Issue 1, S. 89-114, ISSN 00252611
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- Ricci flow
- Einfache metrische Räume
- Globale Geometrie
- Parabolisch und elliptischen Differentialgleichungen
- 1986 - 1991: Bachelor of Science, Honours Australian National University, Canberra, ACT, Australien
- 1992 - 1997: Ph.D. Melbourne University, Australien
- Feb. 1998 - Feb. 1999: Postdoktorandenstelle, MPI für Mathematik i. d. Naturwissenschaften, Leipzig (Forschung)
- 1999 Ph.D.